Hányféleképpen lehet bejárni
az Országos Kéktúrát?
Győző barátom Országos Kékkör bejárása (49 napon belül járta végig a több mint 2600 km-es utat, pihenőnap nélkül) adta az ötletet hogy kiszámoljam, hányféleképpen lehet bejárni az Országos Kéktúrát.
A kérdésre a tömör válasz érezhetően olyasmi, hogy "nagyon sok", de hogy mennyire elképesztően sok, azt talán nem is gondolná az ember. Hiszen csupán arról van szó, hogy van 27 szakaszunk, amiket tetszőleges sorrendben és szakaszonként tetszőleges irányban bejárhatunk.
Nos, a klasszikus Országos Kéktúrát nem kevesebb mint 1 461 479 318 123 759 876 522 171 695 104 000 000-féleképpen lehet bejárni a szakaszok sorrendje és iránya tekintetében. Ez egy 37 jegyű szám, a milliárd milliárdszorosának a milliárdszorosának a milliárdszorosánál is több, annak is majdnem a másfélszerese.
(A szakaszokat megbontó és / vagy (rész)szakaszokon átívelő, összekötő túranapok miatt azonban a valós lehetőségek száma még ennél is sokkal magasabb, illetve a lehetséges variációk számát jelentősen növelné még az is, ha külön esetnek vennénk az összefűzve egyben bejárt teljes szakaszokat. Ha pedig az egész Kékkört, a Rockenbauer Pál Dél-dunántúli Kéktúrával és az Alföldi Kéktúrával együtt néznénk, még hatalmasabb számot kapnánk.)
A 1 461 479 318 123 759 876 522 171 695 104 000 000 mint eredmény úgy jön ki, hogy 27!-t megszorozzuk 227-nel, ugyanis a 27 szakaszt huszonhét faktoriális (1 * 2 * 3 * ... * 27) féle sorrendben lehet bejárni, az egyes szakaszok szabad irányválasztása miatt pedig ezt még be kell szorozni a kettő huszonhetedik hatványával.
Könyvekben felsorolt variációk
Ha mondjuk minden ilyen lehetőséget egy-egy rövid sorral le szeretnénk írni (mely sor tartalmazná, jelölné a szakaszok sorrendjét és irányát), és egy lapon (mint egy átlagos könyvben) lenne mondjuk 35 sor, az erre szánt könyvek pedig 1000 oldalasak lennének, akkor ez a lista 41 756 551 946 393 139 329 204 905 574 400 kötetben férne el.
Még ha nagyon vékony papírra lennének is nyomtatva ezek a könyvek, mondjuk 0,04 mm-esre, és a borítókat sem vennénk figyelembe, egymásra pakolva akkor is 835 131 038 927 862 786 584 098 111 kilométer magas lenne a könyvoszlop, ami a Nap - Föld távolság 5 582 426 730 801 221 835-szöröse.
Persze hogy masszívabb legyen ez a könyvoszlop, lehetne mondjuk 1000 x 1000 kötetes alapot építeni és a többi emeletet erre kötésben rakásolni (tehát egymillió könyv képezne egy emeletet), így már csak a Nap - Föld távolság 5 582 426 730 801-szerese lenne a megerősített könyvoszlop magassága.
Ezt a magasságot (távolságot) az 1000 x 1000 kötetes könyvoszlop aljától a tetejéig a fénynek 88 millió évbe telne megtennie.
Lisztszemcse az óriáskockában
Vagy másképp szemléltetve ezt a 1 461 479 318 123 759 876 522 171 695 104 000 000 számot: finomabb szemcséjű finomlisztből (amiből egy teáskanálnyi kb. 80 ezer szemcsét tartalmaz) egy akkora kockában férne el ennyi lisztszemcse, amelynek oldalai több mint 56 ezer kilométer hosszúságúak. Egy ekkora kocka térfogata egyébként a Földének is a 160-szorosa. Hát, ehhez képest a "csepp a tengerben" kifejezés nagyságrendekkel kevésbé szélsőséges aránypárt takar.
(Érdekesség: ha a Kéktúra csupán három szakaszból állna, 48 lehetőségünk lenne, öt szakasz esetén már 3840.)
Mi a helyzet a teljes Kékkörrel?
A teljes Kékkör 51 szakaszát tekintve azokból sorrendjüket és irányukat illetően ennyi bejárási variáció létezik: 3 492 808 919 656 221 577 321 136 155 311 234 969 462 104 855 479 358 280 447 396 755 275 776 000 000 000 000. Ez már egy 82 jegyű szám, azaz jóval több mint a Kéktúra 27 szakaszára eredményként kapott 37 jegyű érték négyzete. Ezt úgy lehetne elképzelni, mintha a lisztszemcsés példában minden egyes apró lisztszemcse maga is egy tároló kocka lenne, és bennük is ugyanúgy lennének még sokkal kisebb szemcsék ugyanolyan elképesztő mennyiségben, egy rekurzióval mélyebben (nevezzük ezeket mondjuk szemcsécskéknek). De még az eredeti, 56 ezer kilométer élhosszúságú óriáskockából is szükségünk lenne jó néhányra, és építenünk kellene egy még monumentálisabb kockát, mely 1178 * 1178 * 1178 óriáskockát tartalmazna. Ebben a momumentális kockában lenne annyi szemcsécske, mint ahányféleképpen be lehet járni a Kékkört.
A Mindenségit!
A tudomány jelen állása szerint nagyságrendileg egyébként körülbelül ennyi atom lehet az ismert világegyetemben, így talán nem nagy tévedés azt mondani, hogy legalább annyiféleképpen lehet a Kékkört bejárni, ahány atom összesen van bennünk, ismerőseinkben, sőt az összes élő és valaha élt emberben, állatban, a valaha gyártott összes túrafelszerelésben, sőt bármilyen ruhában és eszközben, gépben, az összes igazolófüzetben, sőt minden kinyomtatott iratban, könyvben, az összes fában, erdőben, növényben, hegyben, óceánban, az egész bolygóban, sőt a Napban, csillagokban és az egész világban.